Под знаком корня может быть отрицательное число

Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

под знаком корня может быть отрицательное число

Ответы репетиторов на вопрос: Почему корень нечетной степени можно извлечь из степени) будет положительным, вне зависимости от его исходного знака. потому что число в четной степени не может быть отрицательным. Существует со школы заблуждение, что корень из отрицательных чисел не P.S. Насчёт применения в жизни: комплексные числа используются во. квадратный корень, извлечение, метод, пример, определение. Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби. . числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным.

Помощь в написании работ Корень n-ой степени: При этом будем вводить определения, обозначения, приводить примеры корней и давать необходимые пояснения и комментарии. Квадратный корень, арифметический квадратный корень Чтобы понять определение корня из числа, и квадратного корня в частности, нужно иметь представление о степени с натуральным показателем. В этом пункте мы часто будем сталкиваться со второй степенью числа - квадратом числа.

Начнем с определения квадратного корня. Определение Квадратный корень из числа a - это число, квадрат которого равен a. Следует отметить, что не для любого числа a существует действительное числоквадрат которого равен a. А именно, для любого отрицательного числа a не существует ни одного действительного числа b, квадрат которого равнялся бы a. Таким образом, на множестве действительных чисел не существует квадратного корня из отрицательного числа.

Иными словами, на множестве действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не определяется и не имеет смысла. Отсюда вытекает логичный вопрос: Обоснованием этого факта можно считать конструктивный способ, используемый для нахождения значения квадратного корня. Тогда встает следующий логичный вопрос: Вот ответ на него: Сначала покажем, что нуль действительно является квадратным корнем из нуля.

Теперь докажем, что 0 — единственный квадратный корень из нуля. Воспользуемся методом от противного.

Корень из числа: определения, примеры

Предположим, что существует некоторое число b, отличное от нуля, которое является квадратным корнем из нуля. Мы пришли к противоречию. Это доказывает, что 0 — единственный квадратный корень из нуля. Переходим к случаям, когда a — положительное число. Выше мы сказали, что всегда существует квадратный корень из любого неотрицательного числа, пусть квадратным корнем из a является число b. Допустим, что существует число c, которое тоже является квадратным корнем из a. Таким образом, числа b и c равны или противоположны.

Если же предположить, что существует число d, являющееся еще одним квадратным корнем из числа a, то рассуждениями, аналогичными уже приведенным, доказывается, что d равно числу b или числу c.

Корень степени n

Итак, число квадратных корней из положительного числа равно двум, причем квадратные корни являются противоположными числами. С этой целью вводится определение арифметического квадратного корня. Определение Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение. Знак называется знаком арифметического квадратного корня. Его также называют знаком радикала. Например, в записи число — это подкоренное число, а в записи выражение a является подкоренным выражением. В свете введенного обозначения из определения арифметического квадратного корня следует, что и для любого неотрицательного числа a. Квадратные корни из положительного числа a с помощью знака арифметического квадратного корня записываются как.

Например, квадратные корни из числа 13 есть. Арифметический квадратный корень из нуля равен нулю, то есть. Для отрицательных чисел a записи мы не будем придавать смысла вплоть до изучения комплексных чисел. Например, лишены смысла выражения и На базе определения квадратного корня доказываются свойства квадратных корнейкоторые часто применяются на практике. Нахождение квадратных корней заслуживает детального изучения, этой теме посвящена отдельная статья извлечение квадратных корней.

К началу страницы Кубический корень из числа Определение кубического корня из числа a дается аналогично определению квадратного корня. Только оно базируется на понятии куба числа, а не квадрата. Определение Кубическим корнем из числа a называется число, куб которого равен a. Проблема эта оказалась гораздо более глобальной, чем может показаться на первый взгляд.

Получается, что нужно найти некое число, которое будучи трижды умноженное само на себя даст нам Но что это за число? Но всё-таки в большинстве случаев, если вы загадаете произвольное число, а затем попробуете извлечь из него корень произвольной степени, вас ждёт жестокий облом.

А если вы вобьёте это число в калькулятор, то увидите вот это: Можно, конечно, округлить это число, чтобы быстро сравнить с другими числами. Такие числа называются иррациональными, и их нельзя точно представить иначе как с помощью радикала, либо других специально предназначенных для этого конструкций логарифмов, степеней, пределов и.

Но об этом — в другой. Рассмотрим несколько примеров, где после всех вычислений иррациональные числа всё же останутся в ответе.

Корень степени n: основные определения

Впрочем, можно, посчитать на калькуляторе, но даже самый совершенный калькулятор дат нам лишь несколько первых цифр иррационального числа. Именно для этого их и придумали. Чтобы удобно записывать ответы. Почему нужны два определения?

Внимательный читатель уже наверняка заметил, что все квадратные корни, приведённые в примерах, извлекаются из положительных чисел. Ну, в крайнем случае из нуля.

под знаком корня может быть отрицательное число

А вот кубические корни невозмутимо извлекаются абсолютно из любого числа — хоть положительного, хоть отрицательного. График квадратичной функции даёт два корня: Типа у четвёрки сразу два корня? И почему учителя смотрят на подобные записи так, как будто хотят вас сожрать?: В том-то и беда, что если не накладывать никаких дополнительных условий, то квадратных корней у четвёрки будет два — положительный и отрицательный.

И у любого положительного числа их тоже будет два. А вот у отрицательных чисел корней вообще не будет — это видно всё по тому же графику, поскольку парабола нигде не опускается ниже оси y, то есть не принимает отрицательных значений.

Подобная проблема возникает у всех корней с чётным показателем: Так мы избавляемся от неоднозначности. Кубическая парабола принимает любые значения, поэтому кубический корень извлекается из любого числа Из этого графика можно сделать два вывода: Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и. Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком.

Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной отсутствует требование неотрицательности. Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников. Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами. Да, я не спорю: И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке.

Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.

под знаком корня может быть отрицательное число

А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях: Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён. А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями.

Основные свойства и ограничения У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Запишем это свойство в виде формулы: О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике.

под знаком корня может быть отрицательное число

Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений то есть уравнений, содержащих знак радикалаученики дружно забывают эту формулу. Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом: Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают. Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий: Сначала число возводится в четвёртую степень. Ну, это как бы несложно.

под знаком корня может быть отрицательное число

Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти; И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Раберёмся с первым выражением: Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем: Дальше вновь извлекаем корень: В противном случае корень не определён.