Как найти число под знаком логарифма

Свойства логарифмов, формулы и их доказательство.

как найти число под знаком логарифма

преобразования логарифмов, логарифмические преобразования, как избавиться Из-за наличия отрицательного числа под знаком логарифма выражение в виде степени числа 2 и найти значение получившегося логарифма. Логарифм числа, основное логарифмическое тождество. x — логарифм числа b с основой a, a — основа логарифма, b — число, которое стоит под знаком логарифма. Примеры: 25 = 32 ⇔ 5 Пример 1. Найти логарифм: log 4 8. Теперь рассмотрим случай, когда по заданным а и N требуется найти х. Если число и основание равны, то логарифм равен единице, и, обратно, если логарифм нужно переносить в показатель степени под знак логарифма.

Заметим, что оно позволяет сразу указать значение логарифма, если есть возможность представить число под знаком логарифма в виде степени основания, подробнее об этом мы поговорим в статье вычисление логарифмов.

Логарифм — Википедия

Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: Докажем свойство логарифма произведения. Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: Данное равенство без проблем доказывается методом математической индукции.

Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4, e. Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: Переходим к свойству логарифма степени.

как найти число под знаком логарифма

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: Сначала докажем это свойство для положительных b. Осталось доказать это свойство для отрицательных b.

как найти число под знаком логарифма

Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня: Доказательство базируется на равенстве смотрите определение степени с дробным показателемкоторое справедливо для любых положительных b, и свойстве логарифма степени: Вот пример использования этого свойства: Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида.

Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов. Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями. Отсюда видно, что logab и logba — взаимно обратные числа.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы: Основания одинаковые, используем формулу разности: Снова основания одинаковые, поэтому имеем: Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе иногда — практически без изменений предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма Теперь немного усложним задачу.

  • Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество
  • Логарифм. Свойства логарифмов
  • Логарифм. Основание логарифма.

Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам: Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений. Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: Именно это чаще всего и требуется. Избавимся от степени в аргументе по первой формуле: До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем.

Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов: примеры, решения

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: Переход к новому основанию Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные?

как найти число под знаком логарифма

Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа? На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы: Пусть дан логарифм loga x.

Производная 5 Экспонента и натуральный логарифм.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.